Position de la courbe par rapport à ses tangentes

Propriété

On considère une fonction  \(f\)  définie et dérivable sur un intervalle \(I\)  et on note \(\mathscr{C}_f\)  sa courbe représentative.

• \(f\)  est convexe sur \(I\)  si et seulement si \(\mathscr{C}_f\)  est au-dessus de ses tangentes sur \(I\) .
  

• \(f\)  est concave sur \(I\)  si et seulement si   \(\mathscr{C}_f\)  est en dessous de ses tangentes sur \(I\) .
  

• \(f\)  possède un point d'inflexion d'abscisse \(a\)  si et seulement si \(\mathscr{C}_f\)   traverse sa tangente en \(a\) .
  

Démonstration partielle du premier point

Soit \(f\)  une fonction définie, dérivable et convexe sur un intervalle \(]\alpha\ ;\ \beta[\) . Montrons que \(\mathscr{C}_f\)  est située au dessus des tangentes à la courbe sur  \(]\alpha\ ;\ \beta[\) .
Soit \(a \in ]\alpha\ ;\ \beta[\) .
La tangente à \(\mathscr{C}_f\)  au point d'abscisse \(a\)  a pour équation \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\) .
On pose, pour tout réel \(x\in]\alpha\ ;\ \beta[,\ \varphi(x)=f(x)-\left(f'(a)(x-a)+f(a)\right)\) .
Le but de cette démonstration est de montrer que \(\varphi\)  est positive sur l'intervalle   \(]\alpha\ ;\ \beta[\) .

\(\varphi\)  est dérivable sur l'intervalle   \(]\alpha\ ;\ \beta[\) .
\(\forall x \in ]\alpha\ ;\ \beta[,\ \varphi'(x)=f'(x)-f'(a)\) .

\(f\)  est convexe sur \(]\alpha\ ;\ \beta[\)  donc \(f'\)  est croissante sur \(]\alpha\ ;\ \beta[\)  . Ainsi :

• pour tout réel \(x\)  de l'intervalle \(]\alpha\ ;\ \beta[\)  tel que \(x \leqslant a\ \text{on a}\ f'(x)\leqslant f'(a)\)  donc \(\varphi'(x)\leqslant 0\)  ;
• pour tout réel \(x\)  de l'intervalle \(]\alpha\ ;\ \beta[\)  tel que \(x \geqslant a\ \text{on a}\ f'(x)\geqslant f'(a)\)  donc \(\varphi'(x)\geqslant 0\) .
  

De plus,  \(\varphi'(a)=f'(a)-f'(a)\)  donc \(\varphi'(a)=0\) .

On en déduit le tableau de signes de \(\varphi'\)  et de variations de \(\varphi\)  suivant :

La fonction \(\varphi\)  admet un minimum sur \(]\alpha\ ;\ \beta[\)  en \(x=a\) .
\(\varphi(a)=f(a)-(f'(a)(a-a)+f(a))=0\)
Le minimum de la fonction   \(\varphi\)  sur \(]\alpha\ ;\ \beta[\)  vaut \(0\)  donc la fonction \(\varphi\)  est positive sur l'intervalle   \(]\alpha\ ;\ \beta[\) .
Ainsi, pour tout réel \(x\)  de l'intervalle  \(]\alpha\ ;\ \beta[, f(x)\geqslant f'(a)(x-a)+f(a)\)  donc la courbe est bien située au dessus de ses tangentes.